7.1 擴(kuò)散定律(2)

    7.1.3 擴(kuò)散方程的求解

    1. 擴(kuò)散第一方程
    擴(kuò)散第一方程可直接用于描述穩(wěn)定擴(kuò)散過程。下面用氧通過金屬薄壁的擴(kuò)散過程來說明擴(kuò)散第一方程的解法。
    如圖7-3所示，一個(gè)內(nèi)外徑分別為r₁和r₂的球罐中儲(chǔ)存有高壓氧氣，罐內(nèi)氣壓為p₁，罐外大氣中氧分壓為p₂。由于氧氣泄漏非常緩慢，所以假設(shè)p₁不隨時(shí)間變化，達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，氧氣將以一恒定速率泄漏。由菲克第一定律，氧氣在球罐壁內(nèi)的擴(kuò)散通量為
    
則，通過整個(gè)球罐壁單位時(shí)間泄漏的氧氣量為
           （7-3）
      對(duì)上式積分，有
           （7-4）
其中，c₁和c₂分別為氧分子在球罐內(nèi)、外壁的溶解度。根據(jù)Sievert定律，雙原子分子氣體在固體中的溶解度通常與壓力的平方根成正比，即c=Kp^1/2因此，單位時(shí)間內(nèi)氧氣泄漏量為
             （7-5）
2. 擴(kuò)散第二方程
      1）高斯解
     把總量為M的擴(kuò)散元素沉淀成非常薄的薄層，夾在兩個(gè)“無限”厚的相同試樣之間進(jìn)行擴(kuò)散。這里的無限厚是指試樣的厚度或長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于點(diǎn)陣擴(kuò)散長(zhǎng)度時(shí)的情況。這時(shí)近似取沉淀層的厚度為零，則方程（7-2）的初始條件和邊界條件分別為
      t=0，x=0 C=∞
        x≠0 C=0
        t≥0 x=±∞ C=0
滿足方程（7-2）及上述條件的解為
           （7-6）
此解稱為高斯函數(shù)解，其曲線如圖7-4所示。若沉淀物是置于試樣表面的薄層，即擴(kuò)散只向x>0擴(kuò)散，則方程的解應(yīng)為
             （7-7）
     利用此解可以通過示蹤原子法測(cè)定固體材料中擴(kuò)散系數(shù)，以及解決半導(dǎo)體摻雜過程中的擴(kuò)散問題。